Get on Google Play

[sajib]

■■প্রশ্ন:- 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + .........ধারাটির সপ্তম পদটি কত?
যুক্তি :- লক্ষণীয় বিষয় প্রথমে বলে রাখতে চাই এই নিয়মের অঙ্কে সাধারণত বেশি থেকে বেশী বললে বার'তম পদ পর্যন্ত বের করতে বলে তার চেয়ে বেশি কখনো চাইবে না। এখন মূল কথায় আসি এই ধরনের প্রশ্নে যখন বলবে সপ্তম পদ বা অষ্টম বা দশম যাই বলুক না কেন একটা নিয়মে সোলভ করা যাবে যেটা এখানে উল্লেখ করবো। মনে রাখবেন যখন বলবে এত'তম পদটি কত বা ওত'তম পদটি কত মানে সপ্তম, অষ্টম বা নবম পদটি কত ইত্যাদি তখন প্রথম কাজ হলো প্রশ্নে উল্লেখিত প্রথম পদটি নিতে হবে যেমনঃ এই প্রশ্নে প্রথম পদটি 1, এই ভাবে দ্বিতীয় পদ 3 এভাবে 5ম পদ পর্যন্ত প্রশ্নে উল্লেখিত সংখ্যা গুলো বসাতে হবে। প্রশ্নে প্রথম পদ 1 দেওয়া আছে, ভালো কথা। দ্বিতীয় পদটি বের করতে ধারাবাহিকভাবে 2, তৃতীয় পদটির সাথে 3, এভাবে পর্যায়ক্রমে 5ম পদটির সাথে 5 বসানোর পর কি করতে হবে একটু লক্ষ্য করুন। এখানে প্রশ্নে আছে,
প্রথম পদ = 1
সুতরাং দ্বিতীয় পদ 3 = 2
তৃতীয় পদ 6 = 3
চতুর্থ " 10 = 4
পঞ্চম " 15 = 5
6ষ্ঠ " = 5ম পদ + 6 =
7ম " = 6ষ্ঠ পদ + 7
প্রথম কাজ হলো উপরের এই অংশটা বুঝতে হবে।এটা বুঝলে প্রশ্নে যাই বলুক না কেন ঐ পদটির মান বের করতে সক্ষম হবেন।
সমাধান :-
ধারাটিতে,
প্রথম পদ = 1
দ্বিতীয় পদ 3 = 2
তৃতীয় পদ 6 = 3
চতুর্থ পদ 10 = 4
পঞ্চম পদ 15 = 5 ,
= (15 + 5) = 20
6ষ্ঠ পদ 5ম পদ = 6, মানে (5ম + 6)
= (15 + 6) = 21
সুতরাং,
সপ্তম পদ 6ষ্ঠ = 7, মানে ( 6ষ্ঠ + 7)
= 21 + 7 = 28
অর্থাৎ সপ্তম পদ = 28
উত্তরঃ 28
■■প্রশ্ন:- 1 + 2 + 3 + 4 + ......+ 99 = কত?
যুক্তি :- মনে রাখতে হবে এই ভাবে ধারা প্রকাশ করে ...... + 99 বা অন্য কোন মান = কত ? চাওয়া মানে অর্থাৎ ধারাসমূহ যদি পর্যায়ক্রমে থাকে উক্ত ধারার সমষ্টি বের করতে বলছে। এই সমষ্টি বের করা তেমন কঠিন না শুধু সমষ্টির সূত্রটা জানতে হবে।সমষ্টির সূত্র হলো:-
n (n + 1)
সমষ্টি = ------------, এখানে n =পদসংখ্যা
2
পদ সংখ্যা মানে লাস্ট যে সংখ্যা দেওয়া আছে তা যেমন উক্ত প্রশ্নে ... +99 হলো পদ সংখ্যা। তাহলে এই নিয়মের যেকোন অঙ্ক সমাধান করা যাবে।
সমাধান :-
এখানে মোট পদ সংখ্যা n = 99
সুতরাং,
99 ( 99 + 1) 99 × 100
সমষ্টি = ------------------ = -------------
2 2
= 4950
উত্তরঃ 4950
■■প্রশ্ন:- 3 + 6 + 9 + ....... + 36 = ??
যুক্তি:- লক্ষ্য করুন আগের অঙ্কের মত এখানে কিন্তু ধারা পর্যায়ক্রমে দেওয়া নেই তাই এখানে সমষ্টির অন্য একটা সূত্র দিয়ে করতে হবে কারন ধারা যদি পর্যায়ক্রমে দেয়া না থাকে তাহলে সমষ্টি বের করার জন্য নিম্নের এই সূত্রটি প্রয়োগ করতে হয়।
সমষ্টি S = n/2 {2a + (n - 1).d} এই সূত্র প্রয়োগ করতে হবে।
এই সূত্রটি একটি বিশ্লেষণ করি
a = প্রথম পদ, মানে a = 3
d = সাধারণ অন্তর, মানে
(দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ) = 6 - 3 = 3
শেষপদ = 36
n = পদসংখ্যা,
শেষপদ - প্রথমপদ
পদসংখ্যা = ------------------------ + 1
প্রথমপদ
এই সূত্র মনে রেখে কাজ করলে ফলাফল বের হয়ে যাবে।
সমাধান :-
প্রথম পদ a = 3
d = 6 - 3 = 3
সুতরাং,
36 - 3
পদসংখ্যা = --------------- + 1
3
= 11 + 1
= 12
সুতরাং,
সমষ্টি S = n/2 {2a + (n - 1).d}
= 12/2{2.3 + (12 - 1).3}
= 12/2 (6 + 33)
= 6 × 39
= 234
উত্তরঃ 234
■■■■■■একই_নিয়মে_হবে ■■■■■
● 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ...... + 51 = কত??
উত্তরঃ 676

■■ প্রশ্ন:- 5 + 8 + 11 + 14 + .... ধারাটির কোন পদ 302 ??
যুক্তি :- খুব ভালো করে খেয়াল করুন প্রশ্নে চাওয়া হয়েছে কোন পদ 302, তাহলে বুঝা যাচ্ছে আমাদের একটা পদ বের করতে বলছে অর্থাৎ ধারার মধ্যে কততম পদটি হবে 302, অতি সহজ কথা পদ বের করার একটি সূত্র আছে মানে পদসংখ্যা বের করার জন্য যে সূত্র ব্যবহার করা হয় তা হলো a + (n - 1)d .
গতকালের প্রথম পর্বে সূত্রের ব্যাখ্যা করা হয়েছে তবুও এখন হালকা করে বলছি
a = প্রথম পদ, মানে 5 ।
d = সাধারণ অন্তর, মানে
(দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ ) = 8 - 5 = 3
n = পদসংখ্যা, অর্থাৎ এই n এর মান বের করতে বলা হয়েছে।
সুতরাং n = ????
সমাধান:-
মনেকরি n তম পদ = 302
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ a = 5
সাধারণত অন্তর d = দ্বিতীয়পদ - প্রথমপদ
= 8 - 5 = 3
তাহলে প্রশ্ন মতে,
সুতরাং a +( n - 1) d = 302
বা, 5 + (n - 1) 3 = 302
বা, 5 + 3n - 3 = 302
বা, 3n = 302 - 5 + 3
বা, 3n = 300
বা, n = 300/3
বা, n = 100
সুতরাং n = 100
সুতরাং 100 তম পদ = 302
উত্তরঃ 100 তম পদ।

সংগৃহিতঃ- Mehedi Hasan