Get on Google Play

বিষয় ভিত্তিক প্রস্তুতি : গণিত এবং গানিতিক যুক্তি ও দক্ষতা
#192
"মহাবিশ্বের এক অমৃতবানী
গণিতকে করা হয়েছে বিজ্ঞানের রাণী
গণিতকে যারা করে না ভয়,
গণিত তাদের সাথেই কথা কয় "

সেই ছোটবেলায় আমার এক শিক্ষক আমাকে এই ছন্দটুকু শিখিয়েছিলেন। তখন থেকেই গণিতের প্রতি ভালোবাসা শুরু। শেষ পর্যন্ত গ্র‍্যাজুয়েশনও করলাম ফলিত গণিতের এক শাখায়। যার পিছনে ঐ ছন্দটার ভুমিকা অপরিসীম। বুঝতে পারলাম গণিতকে যারা ভয় পায় না, আসলেই গণিত তাদের সাথে কথা বলে। চলুন আজকে আমরা গণিতের সঙ্গে কথা বলবো।

Voila --- তো হয়ে যাক।

কোণ কাকে বলে??
" The quantitative measure which depicts the degree of rotation of any phenomena with respect to any point or axis is called Angle.
যে গাণিতিক রাশি কোন অক্ষ বা বিন্দুর সাপেক্ষে কোন কিছুর ঘুর্ণনের মাত্রা বুঝায় তাকে, কোণ বলে। সহজে মনে রাখতে শুধু এতটুকু মনে রাখুন কোণ মানে হচ্ছে " ঘূর্ণনের মাত্রা বা Degree of Rotation.

কোণ মূলত দুই ধরণের :-
১. জ্যামিতিক কোণ
২. ত্রিকোণমিতিক কোণ

জ্যামিতিক কোণ :- যখন দুইটি সরল রেখা একটা নির্দিষ্ট বিন্দুতে মিলিত হয় তখন যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে জ্যামিতিক কোণ বলে।

ত্রিকোণমিতিক কোণ :- কোন একটি সরল রেখা যখন একটি বিন্দু বা অক্ষের সাপেক্ষে (ঘড়ির কাটার দিকে বা বীপরিতে) ঘূর্ণায়মান হয়, তখন যে কোণের উৎপন্ন হয়, তাকে ত্রিকোণমিতিক কোণ বলে।

জ্যামিতিক কোণ বনাম ত্রিকোণমিতিক কোণ :-
১. জ্যামিতিক কোণ উৎপন্ন হয় (দুইটি) রেখার মিলণে অপরপক্ষে ত্রিকোণোমিতিক কোন উৎপন্ন হয় রেখার ঘূর্ণনে।

২. জ্যামিতিক কোণ সব সবসময় ধনাত্মক অপরপক্ষে ত্রিকোণমিতিক কোণ ধনাত্মক ঋণাত্বক দুইটাই হয়।

৩. জ্যামিতিক কোণ সব সময় ০ থেকে ৩৬০ ডিগ্রির মধ্যে সীমাবদ্ধ, অপরপক্ষে ত্রিকোণমিতিক কোণের মান ধনাত্মক অসীম থেকে ঋণাত্মক অসীম হয় পর্যন্ত হয় ।

৪. জ্যামিতিক কোণ পরিমাপ করা হয় ষাটমুলক পদ্ধতিতে যার একক হলো ডিগ্রি অপরপক্ষে ত্রিকোণমিতিক কোণ পরিমাপ করা হয় বৃত্তীয় পদ্ধতিতে যার একক রেডিয়ান।

কোণ পরিমাপের পদ্ধতি ও একক :-

কোণ পরিমাপের তিনটা পদ্ধতি:-
১. ষাটমুলক পদ্ধতি যার একক হলো ডিগ্রি ( Sexagesimal Method, Whose unit is Degree)
2. বৃত্তীয় পদ্ধতি যার একক হলো রেডিয়ান ( Circular Method, whose unit is Radian)
3. শতমুলক পদ্ধতি যার একক হলো গ্রেডিয়ান ( Centicesimal Method, Whose unit is Gredian)

এর বাইরেও আরেকটা পদ্ধতি আছে যেটাকে ত্রিমাত্রিক পদ্ধতি বলে যার একক হচ্ছে স্ট্যারেডিয়ান। লিখিত বিজ্ঞানের দীপনক্ষমতা, দীপন তীব্রতার অধ্যায়ে সেটা আলোচনা করবো। তাই এখানে আর লিখলাম না।

এখানে চারটা আলোচনার দরকার নাই শুধু প্রথম দুইটা পড়লেই হবে।

তাহলে রেডিয়ান টা কি?
এটা বৃত্তীয় পদ্ধতিতে কোণ পরিমাপের একক। মনে করুন আপনার খাতায় একটা বৃত্ত আছে যার ব্যাসার্ধ্য (Radius) হলো ১০ সে:মি, এখন সেই এখন সেই বৃত্ত থেকেই আপনি ১০ সে:মি এর একটা বৃত্তচাপ(Arc) কাটলেন। তারপর কেন্দ্রের সাথে এর দুই প্রান্তকে যোগ করলেন, এর ফলে কেন্দ্রে একটা কোণ উৎপন্ন হবে, আর এই কোণটাকেই রেডিয়ান বলে।

তাহলে আমরা বলতে পারি যে, The subtended angle at the centre of a circle by an arc in length equal to radius is called Radian.
বৃত্তের ব্যসার্ধ্যের সমান চাপ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোন উৎপন্ন করে তাকে এক রেডিয়ান বলে।

রেডিয়ান এর বৈশিষ্ট্য:-
১. রেডিয়ান একটি ধ্রুব কোণ
২. এটি বৃত্তচাপের সমানুপাতিক কিন্তু বৃত্তের ব্যসার্ধ্যের ব্যস্তানুপাতিক।
৩. এক রেডিয়ান হচ্ছে (2/π) সমকোণ বা ৫৭.৩ ডিগ্রি।

আনুষঙ্গিকভাবে একটা বিষয় সম্পর্কে এখানে পরিষ্কার হওয়ার দরকার। অনেকেই বলে π = ১৮০ ডিগ্রি। আজকে থেকে যেনে রাখুন এই কথাটা ভুল। কিভাবে ভুল আমি ব্যাখ্যা দিয়ে দিচ্ছি। আপনি যদি বলেন π রেডিয়ান = ১৮০ তাহলে আপনার কথা ঠিক আছে। কারণ π হচ্ছে বৃত্তের পরিধি আর ব্যাসের অনুপাত যা একটি ধ্রুব সংখ্যা যার আসন্ন মান (Approximated Value) হচ্ছে ২২/৭ বা ৩.১৪১৬। অপরদিকে π রেডিয়ান হচ্ছে বৃত্তীয় পদ্ধতিতে কোণের পরিমাণ। সুতরাং একটা অনুপাতকে কোণের পরিমাণের সাথে এক করে ফেললে হবে না। অনুপাত হচ্ছে দুইটা রাশির তুলনা আর কোণ ঘূর্ণনের মাত্রা। একটা জিনিস খেয়াল করে দেখবেন যত জায়গায় π = ১৮০ লিখা হয়, সব জায়গাতেই π এর উপরে ছোট করে সুচক আকারে c দেয়া থাকে অর্থাৎ π^c আকারে লিখা থাকে। আর এই c লেখাটা দ্বারা বুঝায় Circular Method যার একক হচ্ছে Radian । এরপরেও যদি সন্দেহ থাকে তাহলে দেখে নিন।
π রেডিয়ান সমান ১৮০ ডিগ্রি কিভাবে হয়

আমরা জানি
১ রেডিয়ান = (২/π) সমকোণ
সুতরাং π রেডিয়ান = { (২/π) * π } = ২ সমকোণ = ১৮০ ডিগ্রি।

তাহলে আজ থেকে মনে রাখুন
π = ২২/৭ বা ৩.১৪১৬ কিন্তু ১৮০ ডিগ্রি নয়
আর π^c = ১৮০ ডিগ্রি।

পারস্পারিক রুপান্তর :-

ডিগ্রি = ( π/১৮০) * রেডিয়ান
রেডিয়ান = ( ১৮০/π) * ডিগ্রি

বিভিন্ন ধরণের জ্যামিতিক কোণ :

সমকোণ (Right Angle) :- যার গাণিতিক পরিমাপ ৯০ ডিগ্রি বা ( π/2)^c

সরল কোণ (Straight Angle) :- যে কোনের পরিমাণ π রেডিয়ান বা ১৮০ ডিগ্রি তাকে সরলকোণ বলে।

০ ডিগ্রি থেকে বড় ৯০ ডিগ্রি থেকে ছোট = সুক্ষকোণ বা Acute Angle

৯০ ডিগ্রি থেকে বড় কিন্তু ১৮০ ডিগ্রি থেকে ছোট = স্থুল কোণ বা Obtuse Angle.

১৮০ ডিগ্রি থেকে বড় কিন্তু ৩৬০ থেকে ছোট = প্রবৃদ্ধ কোণ বা Reflex Angle..

যে কোণের পরিমাপ ঠিক ৩৬০ ডিগ্রি তাকে, বিন্দু কোণ, পুর্ণ ঘূর্ণনকোণ কোন বা Perigon বলে।.

সন্নিহিত কোণ (Adjacent Angle) :- যে দুইটি কোণের শীর্ষ বিন্দু একই তাদের কে সন্নিহিত কোণ বলে।

বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angle) :- কোন কোণের বাহুদ্বয় কে বিপরীত দিকে বর্ধিত করলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে ঐ কোণের বিপ্রতীপ কোণ বলে।

অনুরুপ কোণ ( Corresponding Angle) এবং একান্তর কোণ (Alternate Angle) :- দুইটি সমান্তরাল সরল রেখা কে যদি অন্য একটি সরল রেখা ছেদ করে, তাহলে ছেদকের একই পাশে যে দুইটি কোন থাকে তাদেরকে অনুরুপ কোণ এবং ছেদকের বিপরীত পাশে যে দুইটি কোণ তাকে তাদেরকে একান্তরকোণ বলে।

পুরক কোণ ( Complementary Angle) এবং সম্পুরক কোণ (Supplementary Angle) :- যদি দুইটি কোণের যোগফল ৯০ ডিগ্রি হয় তাহলে তাদেরকে পুরক কোন এবং যদি দুইটি কোণের যোগফল ১৮০ ডিগ্রি হয় তাদেরকে সম্পুরক কোণ বলে।

কোণের কিছু বৈশিষ্ট্য :-
১. যেকোন কোনের একটা শীর্ষ এবং দুইটা বাহু থাকে।

২. দুইটি সমান্তরাল সরল রেখা কে যদি অন্য একটি সরল রেখা ছেদ করে তাহলে একান্তর কোণগুলো সমান হবে। অনুরুপ কোণ গুলোও সমান হবে।

৩. দুইটি সরল রেখা পরস্পর কে ছেদ করলে উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণ গুলো সমান।

৪. ১ রেডিয়ান = ৫৭.৩ ডিগ্রি,
১ গ্রেডিয়ান = (৯/১০) ডিগ্রি,
১ স্টেরেডিয়ান = ৭২০ ডিগ্রি।

ত্রিভুজ:- তিনবাহু দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্র কে ত্রিভুজ বলে ( A surface which is enclosed by three sides is called Triangle)

ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য :-
১. যেকোন দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

২. যেকোন দুই বাহুর অন্তর তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।.

৩. তিনকোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি।

৪. সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণ গুলো সমান, এবং সমান সমান কোণের বিপরীত বাহু গুলোও সমান।

৫. যেকোন দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।.

৬. যে কোন বাহু কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিস্থ কোণ বিপরীত অন্তস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।

৭. সব গুলো বহিস্থ কোণের যোগফল ৩৬০ ডিগ্রি বা চার সমকোণ।

৮. ত্রিভুজের যেকোন শীর্ষ এবং তার বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাকে মধ্যমা বলে

৯. ত্রিভুজের যেকোন মধ্যমা ত্রিভুজটা সমানক্ষেত্রফলের দুইটা ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

১০. ত্রিভুজের যেকোন দুইবাহুর সমষ্টি বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দ্বিগুন অপেক্ষা বৃহত্তর।

১১. ত্রিভুজের বাহু গুলোর দৈর্ঘ্যের যোগফলকে পরিসীমা বলে। ত্রিভুজের মধ্যমা ত্রয়ের সমষ্টি পরিসীমা অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।

১২. ত্রিভুজের যেকোন বাহু তার বিপরীত কোণের ত্রিকোণমিতিক সাইনের সমানুপাতিক।

ত্রিভুজের বিভিন্ন কেন্দ্র:-

ভরকেন্দ্র ( Centroid) :- ত্রিভুজের মধ্যমা গুলোর ছেদবিন্দু কে ভরকেন্দ্র বলে।

অন্ত:কেন্দ্র ( In - Centre) :- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখণ্ডকগুলোর ছেদবিন্দু কে অন্ত:কেন্দ্র বলে।

পরিকেন্দ্র ( Circumcentre) :- ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের লম্বসমদ্বিখন্ডক গুলোর ছেদবিন্দু কে পরিকেন্দ্র বলে।


লম্বকেন্দ্র (Orthocentre) :- ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় হতে বিপরীত বাহুগুলোর উপর অংকিত লম্বগুলোর ছেদবিন্দু কে লম্বকেন্দ্র বলে।

মনে রাখবেন সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অন্তঃকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র, পরিকেন্দ্র, এবং লম্ববিন্দু একই হয়।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:-

সাধারণত তিনভাবে বের করা যায় :-
১. (১/২) * ভুমি * উচ্চতা

২. যদি বাহু তিনটা a, b, c হয় তাহলে
ক্ষেত্রফল হলো, { s(s-a)(s-b)(s-c)} এর বর্গমুল। যেখানে s মানে বুঝায় semi perimeter বা অর্ধপরিসীমা = ( a+b+c)/2.

৩. যদি যেকোন দুইবাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ দেয়া থাকে তাহলে ক্ষেত্রফল হচ্ছে = (1/2) * দুইবাহুর গুণফল * sin(কোণ).

বিশেষ কয়েকটি ত্রিভুজ ও তাদের বৈশিষ্ট্য :

সমবাহু ত্রিভুজ ( Equilateral Triangle) :- যে ত্রিভুজের সব গুলো বাহু সমান। ধরি বাহুর দৈর্ঘ্য a, উচ্চতা h, পরিবৃত্তের ব্যসার্ধ্য R, অন্তবৃত্তের ব্যার্সাধ্য r, পরিসীমা S, ক্ষেত্রফল A, তাহলে,
( এখানে ✔ মানে হচ্ছে Square Root)
১. পরিসীমা S = a+a+a+ = 3a

২.ক্ষেত্রফল A = { (✔3)/4 } * a^2

৩. R = a/✔3

৪. h = (a/2) * ✔3

৫. r= R/2


সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ( Isosceles Triangle) :- দুই বাহু সমান যে ত্রিভুজের। ধরি সমান বাহু দুটির দৈর্ঘ্য a , আর অপর বাহুর দৈর্ঘ্য b. পরিসীমা S, উচ্চতা h, ক্ষেত্রফল A

১. S = a + a+ b = 2a + b

২. A = (b/4) * ✔( 4a^2 -b^2)

৩. h =✔{ a^2 - (b/2)^2 }

সমকোণী ত্রিভুজ (Right Angled Triangle) :- একটা কোণ সমকোণ ।

সমকোণের বিপরীত বাহুকে বলে অতিভুজ ( Hypotenuse) . আর সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটার একটাকে বলে লম্ব ( Perpendicular) আরেকটা হলো ভুমি ( Base) .

সমকোণী ত্রিভুজের সাথে সম্পর্কিত নিচের সঙ্গাগুলো জেনে রাখা ভালো।

লম্ব ( Perpendicular) :- যদি একটি রেখা অপর একটি রেখার সাথে ৯০ ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে তবে তাদেরকে একে অপরের লম্ব বলে।

অভিলম্ব ( Normal) :- যদি একটি রেখা কোন একটি সমতলের (Surface) সাথে ৯০ ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে, তখন সেই রেখাটাকে অভিলম্ব বলে।

তার মানে দ্বাড়ালো সমস্ত অভিলম্বই হলো লম্ব কিন্তু সমস্ত লম্ব অভিলম্ব নয়। অভিলম্বের জন্য সমতল শর্ত।

লম্ব অভিক্ষেপ ( Projection) :-
কোন একটি রেখার ( সরল বা বক্র) লম্ব পাদ বিন্দু গুলোর যোগফলকে লম্ব অভিক্ষেপ বলে। আরেকটু সহজ ভাবে যদি বলি একটা বস্তু কে ভাবেই রাখি না কেন তার উপর এক গুচ্ছ আলোক রশ্মি লম্বভাবে আপতিত হলে যে ছায়ার সৃষ্টি হয় তার দৈর্ঘ্যকে লম্ব অভিক্ষেপ বলে।

পিথাগোরাসে উপপাদ্য :- সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে লম্বের বর্গ যোগ ভুমির বর্গ সমান অতিভুজের বর্গ। সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে যদি ভুমি a, লম্ব b, এবং অতিভুজ c হয় তবে পিথাগোরাস বলেন
a^2 + b^2 = c^2

সমতলের যেকোন দুই বিন্দুর মধ্যকার দুরত্বকে বলে পিথাগোরাসের দুরত্ব ( Pythagorean Distance) যা এই পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যের বের করা হয়।

চৌধুরী আবুল হাসান মাসুম
সহকারী পরিচালক
বাংলাদেশ ব্যাংক
    Similar Topics
    TopicsStatisticsLast post
    0 Replies 
    1262 Views
    by mousumi
    0 Replies 
    906 Views
    by raihan
    0 Replies 
    1821 Views
    by mousumi
    0 Replies 
    17292 Views
    by tasnima
    0 Replies 
    2211 Views
    by sajib

    SSJ GREEN MATERIALS LTD is the largest & t[…]

    জনবল কাঠামো ও এমপিও নীতিমালা-২০২১ মোতাবেক রজনীগঞ্[…]

    সরকারি বিধি মোতাবেক বাড়াইর হাজী চেরাগ আলী উচ্চ ব[…]

    বেসরকারি শিক্ষাপ্রতিষ্ঠান (স্কুল ও কলেজ) জনবল কাঠা[…]