- Tue Jul 23, 2019 6:08 pm#1559
ডাক বিভাগ, সরকারি প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ, বিসিএস প্রিলিমিনারিসহ অন্যান্য চাকরির পরীক্ষা যারা দিচ্ছেন তাদের জন্য রইল গণিতের কিছু শর্ট টেকনিক। এখানে গণিতের ৪টি অধ্যায়ের শর্ট টেকনিক দেওয়া হলো, যা পরীক্ষায় কম-বেশি আসেই।
বানরের বাঁশে ওঠা সংক্রান্ত
এই অংকগুলো জানার জন্য শুধু মাত্র ১টি টেকনিক মনে রাখুন। এধরনের ১টি অংক প্রাথমিকে থাকে। আপনার ভাগ্য ভালো হলে কমন পড়ে যেতে পারে।
যেমন: ১. যখন বানর তৈলাক্ত বাশের মাথায় নির্দিষ্ট সময়ে উঠে এবং নির্দিষ্ট সময়ে নামে তখন-
প্রয়োজনীয় সময় = {(মোট দৈর্ঘ্য-নির্দিষ্ট সময় যতটুকু উঠে)÷(নির্দিষ্ট সময় যতটুকু উঠে -)*২}+১
প্রশ্ন: একটি বানর ৯২ ফুট উচু একটি তৈলাক্ত বাঁশ বেয়ে উপরে উঠতে লাগল। বানরটি প্রথম মিনিটে ১২ ফুট ওঠে, কিন্তু দ্বিতীয় মিনিটে ৮ ফুট নেমে যায়। বাঁশের মাথায় উঠতে বানরটির কত মিনিট সময় লাগে?
টেকনিক: প্রয়োজনীয় সময় = {(মোট দৈর্ঘ্য-নির্দিষ্ট সময় যতটুকু উঠে)÷(নির্দিষ্ট সময় যতটুকু উঠে -)*২}+১
= {(৯২-১২)÷(১২-৮)*২}+১
= {(৮০/৪)*২}+১
= ৪১ মিনিট (উ.)
পিপা ট্যাংক চৌবাচ্চা সংক্রান্ত
মাত্র ২টি গুরুত্বপূর্ণ টেকনিক মনে রাখলেই এধরনের সকল অংক করা সম্ভব।
১. যখন কোন পিপা/ট্যাংক দুটি নলের ১টি পানি দ্বারা পূর্ণকরণ এবং অপর অপসারণরত থাকে তখন–
পিপা/ট্যাংক পূর্ণ বা খালি হতে প্রয়োজনীয় সময় = mn÷(m-n)
এখানে, m= ২য় নল দ্বারা ব্যয়িত সময়, n= ১ম নল দ্বারা ব্যয়িত সময়
প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা একটি নল দ্বারা ১০ ঘণ্টায় পূর্ণ হয়। তাতে একটি ছিদ্র থাকায় পূর্ণ হতে ১৫ ঘণ্টা লাগে। ছিদ্র দ্বারা চৌবাচ্চাটি খালি হতে কত সময় লাগবে?
টেকনিক: (১৫*১০) ÷ (১৫-১০)= ৩০ ঘণ্টা
২. যখন দুইটি নল দ্বারা চৌবাচ্চা পূর্ণ হয় তখন- প্রয়োজনীয় সময়= mn÷(m+n)
প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা দুটি নল দ্বারা যথাক্রমে ২০ এবং ৩০ মিনিটে পূর্ণ হয়। দুটি নল এক সঙ্গে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে?
টেকনিক: প্রয়োজনীয় সময় = mn÷(m+n)
= ৩০*২০÷(৩০+২০)= ১২ মিনিট
নৌকা ও স্রোত সংক্রান্ত
১. নৌকার বেগ-
V= {স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ (x) + স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ (y)}÷২
প্রশ্ন: একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘণ্টায় ৮ কি.মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ৪ কি.মি. যায়। নৌকার বেগ কত?
টেকনিক: V= {স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ (x) + স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ (y)}÷২
= (৮+৪)÷২
= ৬ কি.মি.
২. যখন নৌকাটি নির্দিষ্ট স্থানে গিয়ে আবার পূর্বের স্থানে ফিরে আসে তখন-
পূর্বের স্থানে ফিরে আসার সময় = d{1/(p+q)+1/(p-q)}
এখানে, d= মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব, p= নৌকার বেগ, q= স্রোতের বেগ
প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘণ্টায় যথাক্রমে ১০ ও ৫ কি.মি.। নদী পথে ৪৫ কি.মি. দীর্ঘ পথ একবার অতিক্রম করে ফিরে আসতে কত ঘণ্টা সময় লাগবে?
টেকনিক: পূর্বের স্থানে ফিরে আসার সময় = d{1/(p+q)+1/(p-q)}
= ৪৫{১÷(১০+৫)+১÷(১০-৫)}
= ১২ ঘণ্টা
কাজ ও সময় সংক্রান্ত
১. কাজ, সময় ও লোক উল্লেখ থাকলে-
১ম লোক (M1)*১ম সময় (T1)= ২য় লোক (M2)*২য় সময় (T2)
বা, ২য় সময় = ১ম লোক * ১ম সময় ÷ ২য় লোক
প্রশ্ন: ১০ জন লোক একটি কাজ ২০ দিনে করতে পারে। ৮ জন লোকের ঐ কাজটি করতে কতদিন লাগবে?
টেকনিক:
২য় সময় = ১ম লোক * ১ম সময় ÷ ২য় লোক
২য় সময় (D2) = ১০*২০÷৮= ২৫ দিন।
২. কাজের ক্ষেত্রে পুরুষ=স্ত্রী/বালক বা স্ত্রী=পুরুষ/বালক এবং ১ম সময় উল্লেখ থাকলে ২য় সময়-
T2=T1÷(৩য় লোকসংখ্যা/১ম লোকসংখ্যা+৪র্থ লোকসংখ্যা/২য় লোকসংখ্যা)।
(এখানে T1= ১ম সময় T2= ২য় সময়)
প্রশ্ন: ২ জন পুরুষ বা তিনজন বালক যে কাজ ১৫ দিনে সম্পন্ন করতে পারে, চার জন পুরুষ এবং ৯ জন বালক তার দ্বিগুণ কাজ কত দিনে করতে পারে?
টেকনিক:
T2= ১৫÷(৪/২+৯/৩)
= ৩ দিন
৩. কোন কাজ দুজনে নির্দিষ্ট সময় পৃথকভাবে শেষ করলে একত্রে কাজ করার ক্ষেত্রে-
প্রয়োজনীয় সময়= {১ম সময়(m)*২য় সময়(n)}÷{১ম সময়(m)+২য় সময়(n)}
প্রশ্ন: একটি কাজ 'ক' একা ৬ দিনে এবং 'খ' একা ১২ দিনে শেষ করলে 'ক' ও 'খ' একত্রে কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে?
টেকনিক:
= ১২*৬÷(১২+৬)= ৪ দিন
৪. কোন কাজ দুই জনে নির্দিষ্ট সময় একত্রে করতে পারলে একজনের একা কাজটি শেষ করতে-
প্রয়োজনীয় সময়= {১ম সময় (m)*২য় সময় (n)}÷{১ম সময়(m)-২য় সময় (n)}
প্রশ্ন: একটি কাজ 'ক' এবং 'খ' ১২ দিনে এবং 'ক' একা ২০ দিনে শেষ করলে, 'খ' একা কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে?
টেকনিক:
= (২০*১২)÷(২০-১২)= ৩০ দিনে
৫. দুই ব্যক্তি কাজ শুরু করার পর একজন চলে গেলে কাজ শেষ হওয়ার সময়, যদি একজনের কাজের সময় অপর জনের দ্বিগুণ হয় তবে-
কাজ শেষ হওয়ার সময়= ২/৩*(D1+D3)
(এখানে, D1= ১ম সময়, D3= ৩য় সময়)
প্রশ্ন: 'ক' একটি কাজ ১২ দিনে এবং 'খ' ২৪ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কাজ আরম্ভ করে এবং কয়েক দিন পর 'ক' কাজটি অসমাপ্ত রেখে চলে যায়। বাকি কাজটুকু 'খ' ৩ দিনে শেষ করে। কাজটি কত দিনে শেষ হয়েছিল।
টেকনিক:
= ২/৩*(১২+৩)
=১০ দিন।
★সুদকষার সব অংক করার টেকনিকঃ-
★টেকনিক-১ : যখন মূলধন, সময় এবং সুদের হার সংক্রান্ত মান দেওয়া থাকবে তখন-
সুদ বা মুনাফা = (মুলধন x সময় x সুদেরহার) / ১০০
প্রশ্ন : ৯.৫% হারে সরল সুদে ৬০০ টাকার ২ বছরের সুদ কত?
সমাধান : সুদ বা মুনাফা = (৬০০ x ২ x ৯.৫) / ১০০ = ১১৪ টাকা
_______________________________
★টেকনিক-২ : যখন সুদ, মূলধন এবং সুদের হার দেওয়া থাকে তখন –
সময় = (সুদ x ১০০) / (মুলধন x সুদের হার)
প্রশ্ন : ৫% হারে কত সময়ে ৫০০ টাকার মুনাফা ১০০ টাকা হবে?
সমাধান : সময় = (১০০ x ১০০) / (৫০০ x ৫) = ৪ বছর
_______________________________
★টেকনিক-৩ : যখন সুদে মূলে গুণ হয় এবং সুদের হার উল্লেখ থাকে তখন –
সময় = (সুদেমূলে যতগুণ – ১) / সুদের হার x ১০০
প্রশ্ন : বার্ষিক শতকরা ১০ টাকা হার সুদে কোন মূলধন কত বছর পরে সুদে আসলে দ্বিগুণ হবে?
সমাধান : সময় = (২– ১) /১০ x ১০০ = ১০ বছর
_______________________________
★টেকনিক-৪ : যখন সুদে মূলে গুণ হয় এবং সময় উল্লেখ থাকে তখন
সুদের হার = (সুদেমূলে যতগুণ – ১) / সময় x ১০০
প্রশ্ন : সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে, যে কোন
মূলধন ৮ বছরে সুদে আসলে তিনগুণ হবে?
সমাধান : সুদের হার = (৩ – ১) / ৮ x ১০০ = ২৫%
_______________________________
★টেকনিক-৫ : যখন সুদ সময় ও মূলধন দেওয়া থাকে তখন
সুদের হার = (সুদ x ১০০) / (আসল বা মূলধন x সময়)
প্রশ্ন : শতকরা বার্ষিক কত টাকা হার সুদে ৫ বছরের ৪০০ টাকার সুদ ১৪০ টাকা হবে?
সমাধান : সুদের হার = (১৪০ x ১০০) / (৪০০ x ৫) = ৭ টাকা
_______________________________
★টেকনিক- ৬ : যখন দুটি আসল এবং দুটি সময়ের সুদ দেওয়া থাকে তখন –
সুদের হার = (মোট সুদ x ১০০)/ {(১ম মূলধন x ১ম সময়) + (২য় মূলধন x ২য় সময়) }
প্রশ্ন : সরল হার সুদে ২০০ টাকার ৫ বছরের সুদ ও ৫০০ টাকার ৬ বছরের সুদ মোট ৩২০ টাকা হলে সুদের হার কত?
সমাধান : সুদের হার = (৩২০x ১০০)/ {(২০০ x ৫) + (৫০০ x৬) } = ৮ টাকা
_______________________________
★টেকনিক-৭ : যখন সুদের হার, সময় এবং সুদে- মূলে উল্লেখ থাকে-
মূলধন বা আসল = (১০০ x সুদআসল) / {১০০ + (সময় x সুদের হার)}
প্রশ্ন : বার্ষিক ৮% সরল সুদে কত টাকা ৬ বছরের সুদে- আসলে ১০৩৬ টাকা হবে?
সমাধান : মূলধন বা আসল = (১০০ x ১০৩৬) / {১০০ + (৬ x ৪৮)} = ৭০০ টাকা
_______________________________
★টেকনিক-৮ : যখন সুদ, সময় এবং সুদের হার উল্লেখ থাকবে
মূলধন = (সুদ x ১০০)/ (সময় x সুদের হার)
প্রশ্ন : শতকরা বার্ষিক ৪ টাকা হার সুদে কত টাকার ৬ বছরের সুদ ৮৪ টাকা হবে?
সমাধান : মূলধন = (৮৪ x ১০০)/ (৬x ৪) = ৩৫০ টাকা
_______________________________
★টেকনিক-৯ : যখন দুটি সুদের হার থাকে এবং সুদের হার ও আয় কমে যায় তখন,
আসল = হ্রাসকৃত আয় x ১০০ / {(১ম সুদেরহার – ২য় সুদের হার) xসময়}
প্রশ্ন : সুদের হার ৬% থেকে কমে ৪% হওয়ায় এক ব্যাক্তির বাতসরিক আয় ২০ টাকা কমে গেল। তার
আসলের পরিমাণ কত?
সমাধান : আসল = ২০ x ১০০ / {(৬ – ৪) x১ = ১০০০ টাকা
★সিরিজ
১২, ১৬, ২০, ২৪, ২৮, ৩২, ৩৬, ………….., ৯৬ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি এবং গড় কত?
প্রশ্নটি খেয়াল করলে বুঝতে পারবে সিরিজটির প্রত্যেকটি সংখ্যার পার্থক্য সমান। সাধারণভাবে এই সিরিজটার সমষ্টি এবং গড় বের করা অনেক সময়ের ব্যাপার। এ ধরনের কোন সিরিজের সংখ্যাগুলোর পার্থক্য সমান হলে খুব সহজেই সমাধান করা যায়।
গড়- (১ম সংখ্যা+ শেষের সংখ্যা) /২
সমষ্টি- গড় × মোট সংখ্যা
এখানে গড়= (১২+৯৬)/২= ৫৪
সমষ্টি বের করার জন্য আগে আমাদের মোট সংখ্যা বের করতে হবে। সংখ্যাগুলোর পার্থক্য ৪, তাই মোট সংখ্যা হবে (৯৬/৪)-২= ২২, এখানে ২ বিয়োগ দেয়ার কারণ হলো ৪ এবং ৮ সংখ্যা দুইটা সিরিজে নেই।
সুতরাং সমষ্টি= (৫৪×১২) = ৬৪৮
★ ১ থেকে ১০০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা
মৌলিক সংখ্যা হলো যেই সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায় না এবং যার দু’টি অনন্য উৎপাদক রয়েছে। ‘৪৪২২৩২২৩২১’ এই সিকুয়েন্সটা মনে রেখো। প্রথম ৪ এর মানে হলো ১-১০ এর মধ্যে ৪টি মৌলিক সংখ্যা আছে। এভাবে ১১-২০ এর মধ্যে ৪টি, ২১-৩০ এর মধ্যে ২টি, ৩১-৪০ এর মধ্যে ২টি এভাবে ১০০ পর্যন্ত মোট ২৫টি মৌলিক সংখ্যা আছে।
আবার,
১-৫০ এ মোট ১৫টি
৫১-১০০ এ মোট ১০টি
৯০-১০০ এ মাত্র ১টি (৯৭)
একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা ২
★৩০ থেকে ৭০ পর্যন্ত যেকোন সংখ্যার বর্গ নির্ণয় :
যেই সংখ্যাটির বর্গ নির্ণয় করবে সেটি যদি ৫০ এর বেশি হয় তাহলে যত বেশি হবে সেটা ২৫ এর সাথে যোগ করতে হবে, আর যদি কম হয় তাহলে যত কম হবে সেটা ২৫ থেকে বাদ দিতে হবে। ২৫ এর সাথে যোগ করে বা বাদ দিয়ে যেটা পাবে সেটা প্রথমে বসবে। আর ৫০ এর সাথে ঐ সংখ্যার পার্থক্যের বর্গ শেষে বসবে। ব্যস, হয়ে গেল।
একটু খেয়াল করো,
৩০, ৩১ সংখ্যাগুলোর বর্গ ৩ অংকের।
৩২-৭০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর বর্গ ৪ অংকের।
যদি এই নিয়মে করলে পার্থক্যের বর্গ ৩ অংকের হয় তাহলে বর্গের প্রথম অংকটা তার বামের অংকের সাথে যোগ হয়ে যাবে। আবার পার্থ্যক্যের বর্গ যদি ১০ থেকে ছোট হয় তবে আগে একটা শূন্য বসাতে হবে, অর্থাৎ ০১, ০২, ০৩, ০৪.. এভাবে লিখতে হবে। যেমন-
৫৫ এর বর্গ নির্ণয় করবে। তাহলে ৫৫, ৫০ থেকে ৫ বড়। তাই ৫ কে ২৫ এর সাথে যোগ করে মোট ৩০ কে প্রথমে বসিয়ে দিলাম। আবার পার্থক্য ‘৫’ এর বর্গ ‘২৫’কে শেষে বসিয়ে দিলাম ।
সুতরাং ৫৫ এর বর্গ ৩০৫৫।
যদি ৬২ এর বর্গ নির্ণয় করতে হয়,
৬২ কিন্তু ৫০ থেকে ১২ বেশি, তাই ১২ কে ২৫ এর সাথে যোগ করে ৩৭ কে প্রথমে বসিয়ে দিলাম। আর পার্থক্যে ১২ এর বর্গ হবে ১৪৪। এখানে পার্থক্যের বর্গ ৩ অংকের, তাই বর্গের প্রথম অংককে (১) তার বামের (৭) অংকের সাথে যোগ করে ৮ পেলাম। সুতরাং ৬২ এর বর্গ ৩৮৪৪।
৫৩ এর বর্গ নির্ণয় করতে হলে,
২৫+৩ = ২৮ (প্রথম দুই অংক)। ৩ এর বর্গ ৯ এর জায়গায় ০৯ বসাতে হবে (শেষের দুই অংক)।
সুতরাং ৫৩ এর বর্গ ২৮০৯।
এবার ৫০ থেকে ছোট সংখ্যার একটি উদাহরণ দেই।
৪৩ এর বর্গ নির্ণয় করি-
৪৩, ৫০ থেকে ৭ ছোট তাই ৭ কে ২৫ থেকে বাদ দিয়ে ১৮ কে প্রথমে বসিয়ে দিলাম। আবার পার্থক্য ৭ এর বর্গ করে ৪৯ কে শেষে বসিয়ে দিলাম। সুতরাং ৪৩ এর বর্গ ১৮৪৯।
★২০ থেকে ২৯ এর বর্গ নির্ণয়
যেই সংখ্যার বর্গ নির্ণয় করবে তার এককের ঘরের অংককে ঐ সংখ্যার সাথে যোগ করে ২ দিয়ে গুণ দিবে। আর এককের ঘরের বর্গকে শেষে বসিয়ে দিবে।
যেমন- ২৩ এর বর্গ নির্ণয় করবে। ২৩ এর সাথে এককের ঘরের অংক ৩ কে যোগ করে পাই ২৬। আবার ২৬ কে ২ দিয়ে গুণ করে পাই ৫২। অবশেষে, এককের ঘরের অংক ৩ এর বর্গ ৯ কে শেষে বসিয়ে দিয়ে পাই ৫২৯।
সুতরাং ২৩ এর বর্গ ৫২৯।
ধরো, ২৬ এর বর্গ নির্ণয় করবে-
২৬ এর সাথে এককের ঘরের অংক ৬ যোগ করে পাই ৩২। এবার ৩২ কে ২ দিয়ে গুণ করলে হয় ৬৪। সবশেষে, এককের ঘরের অংক ৬ এর বর্গ ৩৬ কে শেষে বসিয়ে দিই।
খেয়াল করো, ২০-২৯ এর বর্গ তিন অংকের। যদি এককের ঘরের বর্গ ২ অংকের হয় তাহলে প্রথমের অংকটা বামের অংকের সাথে যোগ হয়ে যাবে। তাই এখানে ৩৬ এর ৬ রেখে ৩ কে ৪ এর সাথে যোগ করে পাই (৪+৩) = ৭।
সুতরাং, ২৬ এর বর্গ ৬৭৬।
★দুই অংকের কোন সংখ্যার শেষে ৫ থাকলে তার বর্গ নির্ণয়:
ব্যাপারটা খুবই সহজ। লক্ষ্য করো –
১. প্রথম অংকের সাথে ১ যোগ করো।
২. তারপর সেটাকে প্রথম অংকের সাথে গুণ করো।
৩. শেষে ‘২৫’ বসিয়ে দাও।
এইতো হয়ে গেল। একটা উদাহরণ দেই, ধরো ৪৫ এর বর্গ বের করবে। এখানে, প্রথম অংক ৪, তার সাথে ১ যোগ করলে হয় ৫। এবার প্রথম অংক ৪ এর সাথে ৫ গুণ করলে হয় ২০, এবার সবশেষে ২৫ বসাও। তাহলে উত্তর হবে ২০২৫।
১১ দিয়ে যেকোন দুই অংকের সংখ্যাকে গুণ :
যেই সংখ্যাকে গুণ করবে সেই সংখ্যার দুই অংকের মধ্যখানে সংখ্যাটার অংকদ্বয়ের যোগফলটা বসিয়ে দিলেই পেয়ে যাবে উত্তর।
যেমন- ২৭×১১ =কত?
অংকদ্বয়ের যোগফল (২+৭)= ৯। এবার ‘৯’ কে অংকদ্বয়ের মাঝে বসিয়ে দাও,
২৯৭, এইতো হয়ে গেল!
তবে একটা ব্যাপার খেয়াল রাখতে হবে যে, অংকদ্বয়ের যোগফল যদি ১০ বা এর থেকে বড় হয় তাহলে যোগফলের শেষের অংকটা রেখে প্রথম অংকটা বামের অংকের সাথে যোগ করে দিবে।
যেমন- ৫৯×১১= কত?
অংকদ্বয়ের যোগফল (৯+৫)= ১৪। ৪ কে রেখে দিয়ে ১ কে ৫ এর সাথে যোগ করবো। তাহলে, উত্তর হবে ৬৪৯।
এভাবে ১১ দিয়ে যেকোন ২ অংকের সংখ্যাকে খুব সহজেই গুণ করে ফেলতে পারো।
‘পাই’ এর মান
‘পাই’ এর মান হলো- ৩.১৪১৫৯২৬
এটা অনেক বড় তাই মনে রাখতে অসুবিধা হয়ে যায় কিংবা ভুলে যাই। এটাকে খুব সহজে সবসময় মনে রাখার জন্য একটা কৌশল আছে। এই বাক্যটি মনে রাখো।
May I have a large Container of Coffee?
May (3) I (1) have (4) a (1) large (5) Container (9) of (2) Coffee (6)?
বাক্যটির প্রতিটা শব্দের বর্ণগুলোর সংখ্যা বসালেই পাই এর মান পেয়ে যাবে। ৩ এর পর দশমিক দিতে ভুলবে না।
যেকোন সংখ্যাকে ৫ দ্বারা গুণ
যেই সংখ্যাটিকে গুণ করবে সেটাকে ২ দিয়ে ভাগ করে (অর্ধেক করে) ১০ দ্বারা গুণ করবে।
যেমন-
৭৮×৫= কত?
(৭৮/২)×১০ = ৩৯×১০ = ৩৯০।
আরেকটি উদাহরণ দিই,
৩৫×৫ = কত?
(৩৫/২)×১০ = ১৭.৫×১০ = ১৭৫
★কোন সংখ্যাকে ২৫ দিয়ে গুণ
এটা মোটামুটি ৫ দিয়ে গুণ করার মতই। যেই সংখ্যাটিকে গুণ করবে সেটাকে ৪ দ্বারা ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ দিবে। যেমন-
৪৪×২৫= কত?
৪৪/৪= ১১,
১১×১০০ = ১১০০
যেকোন সংখ্যাকে ৫ দ্বারা গুণ
যেই সংখ্যাটিকে গুণ করবে সেটাকে ২ দিয়ে ভাগ করে (অর্ধেক করে) ১০ দ্বারা গুণ করবে।
যেমন-
৭৮×৫= কত?
(৭৮/২)×১০ = ৩৯×১০ = ৩৯০।
আরেকটি উদাহরণ দিই,
৩৫×৫ = কত?
(৩৫/২)×১০ = ১৭.৫×১০ = ১৭৫
★কোন সংখ্যাকে ২৫ দিয়ে গুণ
এটা মোটামুটি ৫ দিয়ে গুণ করার মতই। যেই সংখ্যাটিকে গুণ করবে সেটাকে ৪ দ্বারা ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ দিবে। যেমন-
৪৪×২৫= কত?
৪৪/৪= ১১,
১১×১০০ = ১১০০
আরো কিছু টেকনিক
টেকনিক-১:উভয় বিষয়ে ফেলের হার উল্লেখ থাকলে উভয় বিষয়ে পাশের হার নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-
শর্ট টেকনিকঃপাশের হার=
১০০-( ১ম বিষয়ে ফেলের হার + ২য় বিষয়ে ফেলের হার- উভয় বিষয়ে ফেলের হার )
উদাহরন-১
কোন পরিক্ষায় ২০% পরিক্ষার্থী গনিতে ৩০% পরিক্ষার্থী ইংরেজীতে ফেল করলো উভয় বিষয়ে ১৩ % পরিক্ষার্থী ফেল করলে শতকরা কত জন পরিক্ষার্থী পাশ করলো? (প্রাথমিক সঃশি নিয়োগ (ইছামতি)পরীক্ষা-২০১০)
উত্তরঃপাশের হার(?)=১০০-[১ম বিষয়ে ফেলের হার(২০)+২য় বিষয়ে ফেলের হার(৩০)- উভয় বিষয়ে ফেলের হার(১৩)] =১০০-(২০+৩০-১৩)
=৬৩%(উঃ)
উদাহরন-২
কোন পরীক্ষায় ৫২% ছাত্র বিজ্ঞানে এবং ৪০% ছাত্র অংকে ফেল করে। যদি উভয় বিষয়ে ২৭ % পরিক্ষার্থী ফেল করে তবে শতকরা কত জন ছাত্র পাশ করে? (প্রাথমিক সঃশি(খুলনা)পরীক্ষা-২০০৬)
উত্তরঃ
=১০০-(৫২+৪০-২৭)
=৩৫%(উঃ)
টেকনিক ২:উভয় বিষয়ে পাশের হার উল্লেখ থাকলে উভয় বিষয়ে ফেলের হার নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-
#শর্ট_টেকনিকঃফেলের হার=১০০-( ১ম বিষয়ে পাশের হার + ২য় বিষয়ে পাশের হার- উভয় বিষয়ে পাশের হার )
(১ম টির উল্টো নিয়ম)
উদাহরন-১
কোন পরিক্ষায় ৮০% পরিক্ষার্থী গনিতে ৭০% পরিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করলো। উভয় বিষয়ে পাশ করলো ৬০% পরিক্ষার্থী।উভয় বিষয়ে শতকরা কত জন ফেল করলো? (২২তম বিসিএস, উপজেলা শিক্ষা অফিসার-২০০৬,অর্থমন্ত্রনালয় ২০১১, ৬ষ্ঠ সহকারী জর্জ নিঃ ২০১১)
উত্তরঃ ফেলের হার(?)=১০০-[১ম বিষয়ে পাশের হার(৮০)+২য় বিষয়ে পাশের হার(৭০)- উভয় বিষয়ে পাশের হার(৬০)]
উদাহরন ২
কোন পরিক্ষায় ২০০জনের মধ্যে ৭০% ছাত্র বিজ্ঞানে এবং ৬০% ছাত্র অংকে পাশ করে করে। এবং ৪০% উভয় বিষয়ে পাশ করে। তবে উভয় বিষয়ে শতকরা কত জন ফেল করলো? (সঞ্চয় অধিদপ্ত্রর,সঃ পরিচালক, পরীক্ষা-২০০৬)
উত্তরঃ
=১০০-(৭০+৬০-৪০)
=১০%
সুতরাং উভয় বিষয়ে ফেল=২০০ এর ১০%=২০%(উঃ)
টেকনিক ৩: উভয় বিষয়ে ফেল এবং পাশের উল্লেখ থাকলে মোট পরিক্ষার্থীর সংখ্যা নির্ণ্যয়ের ক্ষেত্রে-
শর্ট টেকনিকঃ
মোট পরিক্ষার্থী=
উভয় বিষয়ে পাসকৃত ছাত্র ÷ (১ম বিষয়ে ফেল+২য় বিষয়ে ফেল+উভয় বিষয়ে ফেল) x ১০০
উদাহরন
কোন স্কুলে ৭০% পরিক্ষার্থী ইংরেজীতে ৮০% পরিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করলো।কিন্তু ১০% পরিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করলো।উভয় বিষয়ে
শতকরা কত জন ফেল করলো। যদি উভয় বিষয়ে ৩৬০ জন পরিক্ষার্থী পাশ করে তবে ঐ স্কুলে কত জন পরিক্ষার্থী পরিক্ষা দিয়েছে? (২৩তম বিসিএস)
উত্তরঃ মোট পরিক্ষার্থী=
উভয় বিষয়ে পাসকৃত ছাত্র(৩৬০)÷ {১ম বিষয়ে ফেল(১০০-৭০=৩০)+২য় বিষয়ে ফেল (১০০-৮০=২০)+উভয় বিষয়ে ফেল১০} x ১০০
=৩৬০ ÷ ৩০+২০+১০ x ১০০
=৬০০(উঃ)
Raisul Islam Hridoy
বানরের বাঁশে ওঠা সংক্রান্ত
এই অংকগুলো জানার জন্য শুধু মাত্র ১টি টেকনিক মনে রাখুন। এধরনের ১টি অংক প্রাথমিকে থাকে। আপনার ভাগ্য ভালো হলে কমন পড়ে যেতে পারে।
যেমন: ১. যখন বানর তৈলাক্ত বাশের মাথায় নির্দিষ্ট সময়ে উঠে এবং নির্দিষ্ট সময়ে নামে তখন-
প্রয়োজনীয় সময় = {(মোট দৈর্ঘ্য-নির্দিষ্ট সময় যতটুকু উঠে)÷(নির্দিষ্ট সময় যতটুকু উঠে -)*২}+১
প্রশ্ন: একটি বানর ৯২ ফুট উচু একটি তৈলাক্ত বাঁশ বেয়ে উপরে উঠতে লাগল। বানরটি প্রথম মিনিটে ১২ ফুট ওঠে, কিন্তু দ্বিতীয় মিনিটে ৮ ফুট নেমে যায়। বাঁশের মাথায় উঠতে বানরটির কত মিনিট সময় লাগে?
টেকনিক: প্রয়োজনীয় সময় = {(মোট দৈর্ঘ্য-নির্দিষ্ট সময় যতটুকু উঠে)÷(নির্দিষ্ট সময় যতটুকু উঠে -)*২}+১
= {(৯২-১২)÷(১২-৮)*২}+১
= {(৮০/৪)*২}+১
= ৪১ মিনিট (উ.)
পিপা ট্যাংক চৌবাচ্চা সংক্রান্ত
মাত্র ২টি গুরুত্বপূর্ণ টেকনিক মনে রাখলেই এধরনের সকল অংক করা সম্ভব।
১. যখন কোন পিপা/ট্যাংক দুটি নলের ১টি পানি দ্বারা পূর্ণকরণ এবং অপর অপসারণরত থাকে তখন–
পিপা/ট্যাংক পূর্ণ বা খালি হতে প্রয়োজনীয় সময় = mn÷(m-n)
এখানে, m= ২য় নল দ্বারা ব্যয়িত সময়, n= ১ম নল দ্বারা ব্যয়িত সময়
প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা একটি নল দ্বারা ১০ ঘণ্টায় পূর্ণ হয়। তাতে একটি ছিদ্র থাকায় পূর্ণ হতে ১৫ ঘণ্টা লাগে। ছিদ্র দ্বারা চৌবাচ্চাটি খালি হতে কত সময় লাগবে?
টেকনিক: (১৫*১০) ÷ (১৫-১০)= ৩০ ঘণ্টা
২. যখন দুইটি নল দ্বারা চৌবাচ্চা পূর্ণ হয় তখন- প্রয়োজনীয় সময়= mn÷(m+n)
প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা দুটি নল দ্বারা যথাক্রমে ২০ এবং ৩০ মিনিটে পূর্ণ হয়। দুটি নল এক সঙ্গে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে?
টেকনিক: প্রয়োজনীয় সময় = mn÷(m+n)
= ৩০*২০÷(৩০+২০)= ১২ মিনিট
নৌকা ও স্রোত সংক্রান্ত
১. নৌকার বেগ-
V= {স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ (x) + স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ (y)}÷২
প্রশ্ন: একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘণ্টায় ৮ কি.মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ৪ কি.মি. যায়। নৌকার বেগ কত?
টেকনিক: V= {স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ (x) + স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ (y)}÷২
= (৮+৪)÷২
= ৬ কি.মি.
২. যখন নৌকাটি নির্দিষ্ট স্থানে গিয়ে আবার পূর্বের স্থানে ফিরে আসে তখন-
পূর্বের স্থানে ফিরে আসার সময় = d{1/(p+q)+1/(p-q)}
এখানে, d= মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব, p= নৌকার বেগ, q= স্রোতের বেগ
প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘণ্টায় যথাক্রমে ১০ ও ৫ কি.মি.। নদী পথে ৪৫ কি.মি. দীর্ঘ পথ একবার অতিক্রম করে ফিরে আসতে কত ঘণ্টা সময় লাগবে?
টেকনিক: পূর্বের স্থানে ফিরে আসার সময় = d{1/(p+q)+1/(p-q)}
= ৪৫{১÷(১০+৫)+১÷(১০-৫)}
= ১২ ঘণ্টা
কাজ ও সময় সংক্রান্ত
১. কাজ, সময় ও লোক উল্লেখ থাকলে-
১ম লোক (M1)*১ম সময় (T1)= ২য় লোক (M2)*২য় সময় (T2)
বা, ২য় সময় = ১ম লোক * ১ম সময় ÷ ২য় লোক
প্রশ্ন: ১০ জন লোক একটি কাজ ২০ দিনে করতে পারে। ৮ জন লোকের ঐ কাজটি করতে কতদিন লাগবে?
টেকনিক:
২য় সময় = ১ম লোক * ১ম সময় ÷ ২য় লোক
২য় সময় (D2) = ১০*২০÷৮= ২৫ দিন।
২. কাজের ক্ষেত্রে পুরুষ=স্ত্রী/বালক বা স্ত্রী=পুরুষ/বালক এবং ১ম সময় উল্লেখ থাকলে ২য় সময়-
T2=T1÷(৩য় লোকসংখ্যা/১ম লোকসংখ্যা+৪র্থ লোকসংখ্যা/২য় লোকসংখ্যা)।
(এখানে T1= ১ম সময় T2= ২য় সময়)
প্রশ্ন: ২ জন পুরুষ বা তিনজন বালক যে কাজ ১৫ দিনে সম্পন্ন করতে পারে, চার জন পুরুষ এবং ৯ জন বালক তার দ্বিগুণ কাজ কত দিনে করতে পারে?
টেকনিক:
T2= ১৫÷(৪/২+৯/৩)
= ৩ দিন
৩. কোন কাজ দুজনে নির্দিষ্ট সময় পৃথকভাবে শেষ করলে একত্রে কাজ করার ক্ষেত্রে-
প্রয়োজনীয় সময়= {১ম সময়(m)*২য় সময়(n)}÷{১ম সময়(m)+২য় সময়(n)}
প্রশ্ন: একটি কাজ 'ক' একা ৬ দিনে এবং 'খ' একা ১২ দিনে শেষ করলে 'ক' ও 'খ' একত্রে কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে?
টেকনিক:
= ১২*৬÷(১২+৬)= ৪ দিন
৪. কোন কাজ দুই জনে নির্দিষ্ট সময় একত্রে করতে পারলে একজনের একা কাজটি শেষ করতে-
প্রয়োজনীয় সময়= {১ম সময় (m)*২য় সময় (n)}÷{১ম সময়(m)-২য় সময় (n)}
প্রশ্ন: একটি কাজ 'ক' এবং 'খ' ১২ দিনে এবং 'ক' একা ২০ দিনে শেষ করলে, 'খ' একা কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে?
টেকনিক:
= (২০*১২)÷(২০-১২)= ৩০ দিনে
৫. দুই ব্যক্তি কাজ শুরু করার পর একজন চলে গেলে কাজ শেষ হওয়ার সময়, যদি একজনের কাজের সময় অপর জনের দ্বিগুণ হয় তবে-
কাজ শেষ হওয়ার সময়= ২/৩*(D1+D3)
(এখানে, D1= ১ম সময়, D3= ৩য় সময়)
প্রশ্ন: 'ক' একটি কাজ ১২ দিনে এবং 'খ' ২৪ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কাজ আরম্ভ করে এবং কয়েক দিন পর 'ক' কাজটি অসমাপ্ত রেখে চলে যায়। বাকি কাজটুকু 'খ' ৩ দিনে শেষ করে। কাজটি কত দিনে শেষ হয়েছিল।
টেকনিক:
= ২/৩*(১২+৩)
=১০ দিন।
★সুদকষার সব অংক করার টেকনিকঃ-
★টেকনিক-১ : যখন মূলধন, সময় এবং সুদের হার সংক্রান্ত মান দেওয়া থাকবে তখন-
সুদ বা মুনাফা = (মুলধন x সময় x সুদেরহার) / ১০০
প্রশ্ন : ৯.৫% হারে সরল সুদে ৬০০ টাকার ২ বছরের সুদ কত?
সমাধান : সুদ বা মুনাফা = (৬০০ x ২ x ৯.৫) / ১০০ = ১১৪ টাকা
_______________________________
★টেকনিক-২ : যখন সুদ, মূলধন এবং সুদের হার দেওয়া থাকে তখন –
সময় = (সুদ x ১০০) / (মুলধন x সুদের হার)
প্রশ্ন : ৫% হারে কত সময়ে ৫০০ টাকার মুনাফা ১০০ টাকা হবে?
সমাধান : সময় = (১০০ x ১০০) / (৫০০ x ৫) = ৪ বছর
_______________________________
★টেকনিক-৩ : যখন সুদে মূলে গুণ হয় এবং সুদের হার উল্লেখ থাকে তখন –
সময় = (সুদেমূলে যতগুণ – ১) / সুদের হার x ১০০
প্রশ্ন : বার্ষিক শতকরা ১০ টাকা হার সুদে কোন মূলধন কত বছর পরে সুদে আসলে দ্বিগুণ হবে?
সমাধান : সময় = (২– ১) /১০ x ১০০ = ১০ বছর
_______________________________
★টেকনিক-৪ : যখন সুদে মূলে গুণ হয় এবং সময় উল্লেখ থাকে তখন
সুদের হার = (সুদেমূলে যতগুণ – ১) / সময় x ১০০
প্রশ্ন : সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে, যে কোন
মূলধন ৮ বছরে সুদে আসলে তিনগুণ হবে?
সমাধান : সুদের হার = (৩ – ১) / ৮ x ১০০ = ২৫%
_______________________________
★টেকনিক-৫ : যখন সুদ সময় ও মূলধন দেওয়া থাকে তখন
সুদের হার = (সুদ x ১০০) / (আসল বা মূলধন x সময়)
প্রশ্ন : শতকরা বার্ষিক কত টাকা হার সুদে ৫ বছরের ৪০০ টাকার সুদ ১৪০ টাকা হবে?
সমাধান : সুদের হার = (১৪০ x ১০০) / (৪০০ x ৫) = ৭ টাকা
_______________________________
★টেকনিক- ৬ : যখন দুটি আসল এবং দুটি সময়ের সুদ দেওয়া থাকে তখন –
সুদের হার = (মোট সুদ x ১০০)/ {(১ম মূলধন x ১ম সময়) + (২য় মূলধন x ২য় সময়) }
প্রশ্ন : সরল হার সুদে ২০০ টাকার ৫ বছরের সুদ ও ৫০০ টাকার ৬ বছরের সুদ মোট ৩২০ টাকা হলে সুদের হার কত?
সমাধান : সুদের হার = (৩২০x ১০০)/ {(২০০ x ৫) + (৫০০ x৬) } = ৮ টাকা
_______________________________
★টেকনিক-৭ : যখন সুদের হার, সময় এবং সুদে- মূলে উল্লেখ থাকে-
মূলধন বা আসল = (১০০ x সুদআসল) / {১০০ + (সময় x সুদের হার)}
প্রশ্ন : বার্ষিক ৮% সরল সুদে কত টাকা ৬ বছরের সুদে- আসলে ১০৩৬ টাকা হবে?
সমাধান : মূলধন বা আসল = (১০০ x ১০৩৬) / {১০০ + (৬ x ৪৮)} = ৭০০ টাকা
_______________________________
★টেকনিক-৮ : যখন সুদ, সময় এবং সুদের হার উল্লেখ থাকবে
মূলধন = (সুদ x ১০০)/ (সময় x সুদের হার)
প্রশ্ন : শতকরা বার্ষিক ৪ টাকা হার সুদে কত টাকার ৬ বছরের সুদ ৮৪ টাকা হবে?
সমাধান : মূলধন = (৮৪ x ১০০)/ (৬x ৪) = ৩৫০ টাকা
_______________________________
★টেকনিক-৯ : যখন দুটি সুদের হার থাকে এবং সুদের হার ও আয় কমে যায় তখন,
আসল = হ্রাসকৃত আয় x ১০০ / {(১ম সুদেরহার – ২য় সুদের হার) xসময়}
প্রশ্ন : সুদের হার ৬% থেকে কমে ৪% হওয়ায় এক ব্যাক্তির বাতসরিক আয় ২০ টাকা কমে গেল। তার
আসলের পরিমাণ কত?
সমাধান : আসল = ২০ x ১০০ / {(৬ – ৪) x১ = ১০০০ টাকা
★সিরিজ
১২, ১৬, ২০, ২৪, ২৮, ৩২, ৩৬, ………….., ৯৬ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি এবং গড় কত?
প্রশ্নটি খেয়াল করলে বুঝতে পারবে সিরিজটির প্রত্যেকটি সংখ্যার পার্থক্য সমান। সাধারণভাবে এই সিরিজটার সমষ্টি এবং গড় বের করা অনেক সময়ের ব্যাপার। এ ধরনের কোন সিরিজের সংখ্যাগুলোর পার্থক্য সমান হলে খুব সহজেই সমাধান করা যায়।
গড়- (১ম সংখ্যা+ শেষের সংখ্যা) /২
সমষ্টি- গড় × মোট সংখ্যা
এখানে গড়= (১২+৯৬)/২= ৫৪
সমষ্টি বের করার জন্য আগে আমাদের মোট সংখ্যা বের করতে হবে। সংখ্যাগুলোর পার্থক্য ৪, তাই মোট সংখ্যা হবে (৯৬/৪)-২= ২২, এখানে ২ বিয়োগ দেয়ার কারণ হলো ৪ এবং ৮ সংখ্যা দুইটা সিরিজে নেই।
সুতরাং সমষ্টি= (৫৪×১২) = ৬৪৮
★ ১ থেকে ১০০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা
মৌলিক সংখ্যা হলো যেই সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায় না এবং যার দু’টি অনন্য উৎপাদক রয়েছে। ‘৪৪২২৩২২৩২১’ এই সিকুয়েন্সটা মনে রেখো। প্রথম ৪ এর মানে হলো ১-১০ এর মধ্যে ৪টি মৌলিক সংখ্যা আছে। এভাবে ১১-২০ এর মধ্যে ৪টি, ২১-৩০ এর মধ্যে ২টি, ৩১-৪০ এর মধ্যে ২টি এভাবে ১০০ পর্যন্ত মোট ২৫টি মৌলিক সংখ্যা আছে।
আবার,
১-৫০ এ মোট ১৫টি
৫১-১০০ এ মোট ১০টি
৯০-১০০ এ মাত্র ১টি (৯৭)
একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা ২
★৩০ থেকে ৭০ পর্যন্ত যেকোন সংখ্যার বর্গ নির্ণয় :
যেই সংখ্যাটির বর্গ নির্ণয় করবে সেটি যদি ৫০ এর বেশি হয় তাহলে যত বেশি হবে সেটা ২৫ এর সাথে যোগ করতে হবে, আর যদি কম হয় তাহলে যত কম হবে সেটা ২৫ থেকে বাদ দিতে হবে। ২৫ এর সাথে যোগ করে বা বাদ দিয়ে যেটা পাবে সেটা প্রথমে বসবে। আর ৫০ এর সাথে ঐ সংখ্যার পার্থক্যের বর্গ শেষে বসবে। ব্যস, হয়ে গেল।
একটু খেয়াল করো,
৩০, ৩১ সংখ্যাগুলোর বর্গ ৩ অংকের।
৩২-৭০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর বর্গ ৪ অংকের।
যদি এই নিয়মে করলে পার্থক্যের বর্গ ৩ অংকের হয় তাহলে বর্গের প্রথম অংকটা তার বামের অংকের সাথে যোগ হয়ে যাবে। আবার পার্থ্যক্যের বর্গ যদি ১০ থেকে ছোট হয় তবে আগে একটা শূন্য বসাতে হবে, অর্থাৎ ০১, ০২, ০৩, ০৪.. এভাবে লিখতে হবে। যেমন-
৫৫ এর বর্গ নির্ণয় করবে। তাহলে ৫৫, ৫০ থেকে ৫ বড়। তাই ৫ কে ২৫ এর সাথে যোগ করে মোট ৩০ কে প্রথমে বসিয়ে দিলাম। আবার পার্থক্য ‘৫’ এর বর্গ ‘২৫’কে শেষে বসিয়ে দিলাম ।
সুতরাং ৫৫ এর বর্গ ৩০৫৫।
যদি ৬২ এর বর্গ নির্ণয় করতে হয়,
৬২ কিন্তু ৫০ থেকে ১২ বেশি, তাই ১২ কে ২৫ এর সাথে যোগ করে ৩৭ কে প্রথমে বসিয়ে দিলাম। আর পার্থক্যে ১২ এর বর্গ হবে ১৪৪। এখানে পার্থক্যের বর্গ ৩ অংকের, তাই বর্গের প্রথম অংককে (১) তার বামের (৭) অংকের সাথে যোগ করে ৮ পেলাম। সুতরাং ৬২ এর বর্গ ৩৮৪৪।
৫৩ এর বর্গ নির্ণয় করতে হলে,
২৫+৩ = ২৮ (প্রথম দুই অংক)। ৩ এর বর্গ ৯ এর জায়গায় ০৯ বসাতে হবে (শেষের দুই অংক)।
সুতরাং ৫৩ এর বর্গ ২৮০৯।
এবার ৫০ থেকে ছোট সংখ্যার একটি উদাহরণ দেই।
৪৩ এর বর্গ নির্ণয় করি-
৪৩, ৫০ থেকে ৭ ছোট তাই ৭ কে ২৫ থেকে বাদ দিয়ে ১৮ কে প্রথমে বসিয়ে দিলাম। আবার পার্থক্য ৭ এর বর্গ করে ৪৯ কে শেষে বসিয়ে দিলাম। সুতরাং ৪৩ এর বর্গ ১৮৪৯।
★২০ থেকে ২৯ এর বর্গ নির্ণয়
যেই সংখ্যার বর্গ নির্ণয় করবে তার এককের ঘরের অংককে ঐ সংখ্যার সাথে যোগ করে ২ দিয়ে গুণ দিবে। আর এককের ঘরের বর্গকে শেষে বসিয়ে দিবে।
যেমন- ২৩ এর বর্গ নির্ণয় করবে। ২৩ এর সাথে এককের ঘরের অংক ৩ কে যোগ করে পাই ২৬। আবার ২৬ কে ২ দিয়ে গুণ করে পাই ৫২। অবশেষে, এককের ঘরের অংক ৩ এর বর্গ ৯ কে শেষে বসিয়ে দিয়ে পাই ৫২৯।
সুতরাং ২৩ এর বর্গ ৫২৯।
ধরো, ২৬ এর বর্গ নির্ণয় করবে-
২৬ এর সাথে এককের ঘরের অংক ৬ যোগ করে পাই ৩২। এবার ৩২ কে ২ দিয়ে গুণ করলে হয় ৬৪। সবশেষে, এককের ঘরের অংক ৬ এর বর্গ ৩৬ কে শেষে বসিয়ে দিই।
খেয়াল করো, ২০-২৯ এর বর্গ তিন অংকের। যদি এককের ঘরের বর্গ ২ অংকের হয় তাহলে প্রথমের অংকটা বামের অংকের সাথে যোগ হয়ে যাবে। তাই এখানে ৩৬ এর ৬ রেখে ৩ কে ৪ এর সাথে যোগ করে পাই (৪+৩) = ৭।
সুতরাং, ২৬ এর বর্গ ৬৭৬।
★দুই অংকের কোন সংখ্যার শেষে ৫ থাকলে তার বর্গ নির্ণয়:
ব্যাপারটা খুবই সহজ। লক্ষ্য করো –
১. প্রথম অংকের সাথে ১ যোগ করো।
২. তারপর সেটাকে প্রথম অংকের সাথে গুণ করো।
৩. শেষে ‘২৫’ বসিয়ে দাও।
এইতো হয়ে গেল। একটা উদাহরণ দেই, ধরো ৪৫ এর বর্গ বের করবে। এখানে, প্রথম অংক ৪, তার সাথে ১ যোগ করলে হয় ৫। এবার প্রথম অংক ৪ এর সাথে ৫ গুণ করলে হয় ২০, এবার সবশেষে ২৫ বসাও। তাহলে উত্তর হবে ২০২৫।
১১ দিয়ে যেকোন দুই অংকের সংখ্যাকে গুণ :
যেই সংখ্যাকে গুণ করবে সেই সংখ্যার দুই অংকের মধ্যখানে সংখ্যাটার অংকদ্বয়ের যোগফলটা বসিয়ে দিলেই পেয়ে যাবে উত্তর।
যেমন- ২৭×১১ =কত?
অংকদ্বয়ের যোগফল (২+৭)= ৯। এবার ‘৯’ কে অংকদ্বয়ের মাঝে বসিয়ে দাও,
২৯৭, এইতো হয়ে গেল!
তবে একটা ব্যাপার খেয়াল রাখতে হবে যে, অংকদ্বয়ের যোগফল যদি ১০ বা এর থেকে বড় হয় তাহলে যোগফলের শেষের অংকটা রেখে প্রথম অংকটা বামের অংকের সাথে যোগ করে দিবে।
যেমন- ৫৯×১১= কত?
অংকদ্বয়ের যোগফল (৯+৫)= ১৪। ৪ কে রেখে দিয়ে ১ কে ৫ এর সাথে যোগ করবো। তাহলে, উত্তর হবে ৬৪৯।
এভাবে ১১ দিয়ে যেকোন ২ অংকের সংখ্যাকে খুব সহজেই গুণ করে ফেলতে পারো।
‘পাই’ এর মান
‘পাই’ এর মান হলো- ৩.১৪১৫৯২৬
এটা অনেক বড় তাই মনে রাখতে অসুবিধা হয়ে যায় কিংবা ভুলে যাই। এটাকে খুব সহজে সবসময় মনে রাখার জন্য একটা কৌশল আছে। এই বাক্যটি মনে রাখো।
May I have a large Container of Coffee?
May (3) I (1) have (4) a (1) large (5) Container (9) of (2) Coffee (6)?
বাক্যটির প্রতিটা শব্দের বর্ণগুলোর সংখ্যা বসালেই পাই এর মান পেয়ে যাবে। ৩ এর পর দশমিক দিতে ভুলবে না।
যেকোন সংখ্যাকে ৫ দ্বারা গুণ
যেই সংখ্যাটিকে গুণ করবে সেটাকে ২ দিয়ে ভাগ করে (অর্ধেক করে) ১০ দ্বারা গুণ করবে।
যেমন-
৭৮×৫= কত?
(৭৮/২)×১০ = ৩৯×১০ = ৩৯০।
আরেকটি উদাহরণ দিই,
৩৫×৫ = কত?
(৩৫/২)×১০ = ১৭.৫×১০ = ১৭৫
★কোন সংখ্যাকে ২৫ দিয়ে গুণ
এটা মোটামুটি ৫ দিয়ে গুণ করার মতই। যেই সংখ্যাটিকে গুণ করবে সেটাকে ৪ দ্বারা ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ দিবে। যেমন-
৪৪×২৫= কত?
৪৪/৪= ১১,
১১×১০০ = ১১০০
যেকোন সংখ্যাকে ৫ দ্বারা গুণ
যেই সংখ্যাটিকে গুণ করবে সেটাকে ২ দিয়ে ভাগ করে (অর্ধেক করে) ১০ দ্বারা গুণ করবে।
যেমন-
৭৮×৫= কত?
(৭৮/২)×১০ = ৩৯×১০ = ৩৯০।
আরেকটি উদাহরণ দিই,
৩৫×৫ = কত?
(৩৫/২)×১০ = ১৭.৫×১০ = ১৭৫
★কোন সংখ্যাকে ২৫ দিয়ে গুণ
এটা মোটামুটি ৫ দিয়ে গুণ করার মতই। যেই সংখ্যাটিকে গুণ করবে সেটাকে ৪ দ্বারা ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ দিবে। যেমন-
৪৪×২৫= কত?
৪৪/৪= ১১,
১১×১০০ = ১১০০
আরো কিছু টেকনিক
টেকনিক-১:উভয় বিষয়ে ফেলের হার উল্লেখ থাকলে উভয় বিষয়ে পাশের হার নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-
শর্ট টেকনিকঃপাশের হার=
১০০-( ১ম বিষয়ে ফেলের হার + ২য় বিষয়ে ফেলের হার- উভয় বিষয়ে ফেলের হার )
উদাহরন-১
কোন পরিক্ষায় ২০% পরিক্ষার্থী গনিতে ৩০% পরিক্ষার্থী ইংরেজীতে ফেল করলো উভয় বিষয়ে ১৩ % পরিক্ষার্থী ফেল করলে শতকরা কত জন পরিক্ষার্থী পাশ করলো? (প্রাথমিক সঃশি নিয়োগ (ইছামতি)পরীক্ষা-২০১০)
উত্তরঃপাশের হার(?)=১০০-[১ম বিষয়ে ফেলের হার(২০)+২য় বিষয়ে ফেলের হার(৩০)- উভয় বিষয়ে ফেলের হার(১৩)] =১০০-(২০+৩০-১৩)
=৬৩%(উঃ)
উদাহরন-২
কোন পরীক্ষায় ৫২% ছাত্র বিজ্ঞানে এবং ৪০% ছাত্র অংকে ফেল করে। যদি উভয় বিষয়ে ২৭ % পরিক্ষার্থী ফেল করে তবে শতকরা কত জন ছাত্র পাশ করে? (প্রাথমিক সঃশি(খুলনা)পরীক্ষা-২০০৬)
উত্তরঃ
=১০০-(৫২+৪০-২৭)
=৩৫%(উঃ)
টেকনিক ২:উভয় বিষয়ে পাশের হার উল্লেখ থাকলে উভয় বিষয়ে ফেলের হার নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-
#শর্ট_টেকনিকঃফেলের হার=১০০-( ১ম বিষয়ে পাশের হার + ২য় বিষয়ে পাশের হার- উভয় বিষয়ে পাশের হার )
(১ম টির উল্টো নিয়ম)
উদাহরন-১
কোন পরিক্ষায় ৮০% পরিক্ষার্থী গনিতে ৭০% পরিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করলো। উভয় বিষয়ে পাশ করলো ৬০% পরিক্ষার্থী।উভয় বিষয়ে শতকরা কত জন ফেল করলো? (২২তম বিসিএস, উপজেলা শিক্ষা অফিসার-২০০৬,অর্থমন্ত্রনালয় ২০১১, ৬ষ্ঠ সহকারী জর্জ নিঃ ২০১১)
উত্তরঃ ফেলের হার(?)=১০০-[১ম বিষয়ে পাশের হার(৮০)+২য় বিষয়ে পাশের হার(৭০)- উভয় বিষয়ে পাশের হার(৬০)]
উদাহরন ২
কোন পরিক্ষায় ২০০জনের মধ্যে ৭০% ছাত্র বিজ্ঞানে এবং ৬০% ছাত্র অংকে পাশ করে করে। এবং ৪০% উভয় বিষয়ে পাশ করে। তবে উভয় বিষয়ে শতকরা কত জন ফেল করলো? (সঞ্চয় অধিদপ্ত্রর,সঃ পরিচালক, পরীক্ষা-২০০৬)
উত্তরঃ
=১০০-(৭০+৬০-৪০)
=১০%
সুতরাং উভয় বিষয়ে ফেল=২০০ এর ১০%=২০%(উঃ)
টেকনিক ৩: উভয় বিষয়ে ফেল এবং পাশের উল্লেখ থাকলে মোট পরিক্ষার্থীর সংখ্যা নির্ণ্যয়ের ক্ষেত্রে-
শর্ট টেকনিকঃ
মোট পরিক্ষার্থী=
উভয় বিষয়ে পাসকৃত ছাত্র ÷ (১ম বিষয়ে ফেল+২য় বিষয়ে ফেল+উভয় বিষয়ে ফেল) x ১০০
উদাহরন
কোন স্কুলে ৭০% পরিক্ষার্থী ইংরেজীতে ৮০% পরিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করলো।কিন্তু ১০% পরিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করলো।উভয় বিষয়ে
শতকরা কত জন ফেল করলো। যদি উভয় বিষয়ে ৩৬০ জন পরিক্ষার্থী পাশ করে তবে ঐ স্কুলে কত জন পরিক্ষার্থী পরিক্ষা দিয়েছে? (২৩তম বিসিএস)
উত্তরঃ মোট পরিক্ষার্থী=
উভয় বিষয়ে পাসকৃত ছাত্র(৩৬০)÷ {১ম বিষয়ে ফেল(১০০-৭০=৩০)+২য় বিষয়ে ফেল (১০০-৮০=২০)+উভয় বিষয়ে ফেল১০} x ১০০
=৩৬০ ÷ ৩০+২০+১০ x ১০০
=৬০০(উঃ)
Raisul Islam Hridoy